fbpx
Wikipedia

Ângulo

O ramo da matemática que se relaciona com o conceito de ângulo é a trigonometria. Além das funções da trigonometria, as principais funções (ou operações) com ângulos são a soma, a subtração , a multiplicação e divisão por um número.

Semirretas são os lados do ângulo. Origem ou vértice é o ponto onde as duas semirretas se encontram. Bissetriz é a semirreta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números pi e e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na matemática aplicada é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre são a cartografia, a geografia, a engenharia, a física, a química, a biologia, vários ramos da medicina, como a ortopedia, a odontologia, a astronomia, a aviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulos positivos, a matemática admite a existência de ângulos negativos, ou seja, ângulos têm sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento de vetores na forma polar, em alternativa à forma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida na convenção matemática a noção de ângulos entre curvas, como sendo o ângulo entre as retas tangentes no ponto de interseção .

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

O ponto é usado em navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

O ângulo θ é o quociente de s por r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variável k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, k 57 , 29577951 . {\displaystyle k\approx 57,29577951^{\circ }.}

θ = s r ( k ) . {\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}(k).}

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Quanto à medida

Ângulo agudo.
Ângulo reto.
Ângulo raso.
Ângulo giro ou ângulo completo.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

  • Nulo: um ângulo nulo mede 0°;
  • agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
  • reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares;
  • obtuso: é um ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°;
  • raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;
  • côncavo ou reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
  • giro ou completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc.

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

Para facilitar a memorização dos termos correlatos desta parte da geometria euclidiana, utilizamos a seguinte frase: Com o Senhor Estou a Rezar (C = complemento, S = suplemento, E = explemento e R = replemento).

  • Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
  • Ângulos suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
  • Ângulos replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
  • Ângulos explementares: Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.
Dois ângulos complementares

Na geometria euclidiana, dois ângulos complementares são ângulos cujas medidas somadas resultam em 90 graus ou π/2 radianos. Por exemplo, o ângulo α {\displaystyle \alpha } e o ângulo 90 α {\displaystyle 90-\alpha } são complementares. Propriedades dos ângulos complementares:

  • Em geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares. Isto acontece porque, sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo 180 graus e um ângulo é de 90 graus, sobra para os outros ângulos 90 graus.
  • Quando se tem dois ângulos adjacentes complementares, esses dois ângulos juntos formam um ângulo reto. Exemplo: a+b=90º graus
Dois ângulos suplementares

Em geometria, dois ângulos suplementares são ângulos que somados, dão 180 graus ou π {\displaystyle \pi } radianos.Por exemplo, o ângulo α {\displaystyle \alpha } e o ângulo 180 α {\displaystyle 180-\alpha } (b) são suplementares. A aplicação do conceito de ângulos suplementares é fundamental em diversos momentos, principalmente na geometria euclidiana e na geometria esférica. Por exemplo, pode-se vê-lo presente no seguinte teorema:

  • Teorema: Os ângulos internos de um paralelogramo são dois a dois suplementares.
  • Prova: Sejam α , β , γ e δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \ {\mbox{e}}\ \delta } os ângulos do paralelogramo. Então, temos que ( α , β ) , ( β , γ ) , ( γ , δ ) e ( δ , α ) {\displaystyle (\alpha ,\beta ),(\beta ,\gamma ),(\gamma ,\delta )\ {\mbox{e}}\ (\delta ,\alpha )} são pares de ângulos colaterais internos. Por propriedade, suas somas valem 180° (ou seja, α + β = β + γ = γ + δ = δ + α = 180 {\displaystyle \alpha +\beta =\beta +\gamma =\gamma +\delta =\delta +\alpha =180} °). logo, eles são suplementares. {\displaystyle \square }

O ângulo replementar de qualquer ângulo é o ângulo que, somado com o primeiro, dá 360 graus, 2 π {\displaystyle {2\pi }} radianos.

Ângulos explementares são ângulos cujas medidas subtraídas resultam em 180 graus ou π radianos. Por exemplo, 10º e 190º são explementares.

Euclides definiu um ângulo plano como a inclinação entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano. De acordo com Proclo, um ângulo deve ser uma quantidade, qualidade ou relação. O primeiro conceito (quantidade) foi usado por Eudemus, que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado por Carpus de Antioch, que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.

Um dos conhecidos três problemas clássicos da matemática grega foi o da trissecção do ângulo.

O Principia mathematica, um compêndio que tentou demonstrar do início os fundamentos da matemática, tinha um quarto volume previsto, especialmente para a geometria, mas que nunca foi realizado.

Existem vários significados para a palavra ângulo, todos eles derivadas da sua significação matemática, como ponto de vista, imagem que se vê através de uma lente e esquina. Ângulo também pode significar o local no gol, em futebol, de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.

Referências

  1. Viana, Giovana K. A. M; Toffoli, Sônia F. L.; Sodré, Ulysses (24 de março de 2005). . [S.l.]: Planeta Sercomtel. Consultado em 11 de janeiro de 2012. Arquivado do em 12 de maio de 2013A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
  2. Dolce, O. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863
  3. . Click Educação. 1 de janeiro de 2006. Consultado em 11 de janeiro de 2012. Arquivado do em 23 de março de 2010
  4. (PDF). Fundamentos de Matemática Elementar, Universidade Federal da Bahia. Consultado em 11 de janeiro de 2012
  5. Heiberg, Johan Ludvig (1908). (em inglês). 1. [S.l.]: Cambridge University Press
  6. Carvalho, João Pitombeira de. (PDF). Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Consultado em 12 de janeiro de 2012
  7. Ferreira, Aurélio Buarque de Holanda (1986). Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa 2 ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. ISBN 8520904114
Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Definições no Wikcionário
Livros e manuais no Wikilivros

Ângulo
Ângulo, língua, vigiar, editar, nota, para, outros, significados, veja, desambiguação, reunião, duas, semirretas, possuem, origem, comum, chamada, vértice, ângulo, trata, conceitos, fundamentais, matemática, objeto, estudo, geometria, ângulo, agudo, Índice, el. Angulo Lingua Vigiar Editar Nota Para outros significados veja Angulo desambiguacao Angulo e a reuniao de duas semirretas que possuem uma origem em comum chamada vertice do angulo 1 Trata se de um dos conceitos fundamentais da matematica e e objeto de estudo em Geometria 2 Um angulo agudo Indice 1 Elementos conceituais componentes e aplicacoes 2 Unidades de medidas 3 Medicao 4 Classificacoes 4 1 Quanto a medida 4 2 Quanto a complementacoes 5 Historico 6 Significacoes derivadas 7 Ver tambem 8 Referencias 9 Ligacoes externasElementos conceituais componentes e aplicacoes EditarO ramo da matematica que se relaciona com o conceito de angulo e a trigonometria Alem das funcoes da trigonometria as principais funcoes ou operacoes com angulos sao a soma a subtracao a multiplicacao e divisao por um numero 3 Semirretas sao os lados do angulo Origem ou vertice e o ponto onde as duas semirretas se encontram Bissetriz e a semirreta com origem no vertice desse angulo dividindo o ao meio Angulos consecutivos dois angulos sao consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro angulo Angulos adjacentes Dois angulos consecutivos sao adjacentes se nao tem pontos internos comuns Tambem e muito notoria a conceituacao dos numeros pi e e ambas usadas nas operacoes e funcoes com angulos Ja na matematica aplicada e muito comum o uso de angulos Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre sao a cartografia a geografia a engenharia a fisica a quimica a biologia varios ramos da medicina como a ortopedia a odontologia a astronomia a aviacao Embora o senso comum preveja apenas angulos positivos a matematica admite a existencia de angulos negativos ou seja angulos tem sinal Tal questao e importante mormente no tratamento de vetores na forma polar em alternativa a forma cartesiana Do mesmo modo e definida na convencao matematica a nocao de angulos entre curvas como sendo o angulo entre as retas tangentes no ponto de intersecao Unidades de medidas EditarA medida em radianos de um angulo e o comprimento do arco cortado pelo angulo dividido pelo raio do circulo 4 O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para angulos Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco radianos sao uma unidade especial Senos e co senos cujos argumentos estao em radianos possuem propriedades analiticas particulares tal como criar funcoes exponenciais em base e A medida em graus de um angulo e o comprimento de um arco dividido pela circunferencia de um circulo e multiplicada por 360 O simbolo de graus e um pequeno circulo sobrescrito 2p radianos e igual a 360 um circulo completo entao um radiano e aproximadamente 57 e um grau e p 180 radianos O gradiano tambem chamado de grado e uma medida angular na qual o arco e dividido pela circunferencia e multiplicado por 400 Essa forma e usada mais em triangulacao O ponto e usado em navegacao e e definido como 1 32 do circulo ou exatamente 11 25 O circulo completo ou volta completa representa o numero ou a fracao de voltas completas Por exemplo p 2 radianos 90 1 4 de um circulo completo O angulo nulo e um angulo que tem 0 Medicao Editar O angulo 8 e o quociente de s por r Para medir um angulo 8 um arco circular centrado no vertice do angulo e desenhado O comprimento do arco s e entao dividido pelo raio do circulo r e multiplicado por uma variavel k que depende da unidade de medida selecionada graus ou radianos Se a unidade for radianos k 1 se a unidade for graus k 57 29577951 displaystyle k approx 57 29577951 circ 8 s r k displaystyle theta frac s r k Cabe mencionar que valor de 8 e independente do tamanho do circulo a proporcao s r e mantida pois se o raio do circulo aumenta o comprimento do arco tambem aumenta na mesma proporcao Classificacoes EditarQuanto a medida Editar Angulo agudo Angulo reto Angulo raso Angulo giro ou angulo completo Com relacao as suas medidas os angulos podem ser classificados como Nulo um angulo nulo mede 0 agudo angulo cuja medida e maior do que 0 e menor do que 90 reto um angulo reto e um angulo cuja medida e exatamente 90 assim os seus lados estao localizados em retas perpendiculares obtuso e um angulo cuja medida e maior que 90 e menor que 180 raso angulo que mede exatamente 180 os seus lados sao semirretas opostas concavo ou reentrante angulo que mede mais de 180 e menos de 360 giro ou completo angulo que mede 360 tambem pode ser chamado de Angulo de uma volta O angulo reto 90 e um dos angulos mais notorios e utilizados pois o mesmo e encontrado em inumeras aplicacoes praticas como aproximadamente no encontro de uma parede com o chao os pes de uma mesa em relacao ao seu tampo caixas de papelao esquadrias de janelas etc Um angulo de 360 graus e aquele que completa o circulo A volta completa coincide com o angulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus 360 Tal identificacao se assemelha a do angulo negativo com o angulo positivo que tem como medida exatamente aquele negativo somado com a volta completa Angulos Consecutivos dois angulos sao chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro angulo angulos adjacentes Angulos adjacentes sao aqueles que possuem um lado em comum mas as regioes determinadas nao possuem pontos em comum angulos opostos pelo vertice Dois angulos sao opostos pelo vertice quando os lados de um deles sao semirretas opostas aos lados do outro Quanto a complementacoes Editar Angulos complementares a e b b e o complemento de a e a e o complemento de b Os angulos a e b sao suplementares a e agudo e b e obtuso Para facilitar a memorizacao dos termos correlatos desta parte da geometria euclidiana utilizamos a seguinte frase Com o Senhor Estou a Rezar C complemento S suplemento E explemento e R replemento Angulos complementares dois angulos sao complementares se a soma de suas medidas e igual a 90 Neste caso cada um e o complemento do outro Angulos suplementares dois angulos sao suplementares quando a soma de suas medidas e igual a 180 Neste caso cada um e o suplemento do outro Angulos replementares dois angulos sao replementares quando a soma de suas medidas e igual a 360 Neste caso cada um e o replemento do outro Angulos explementares Dois angulos sao explementares quando a diferenca de suas medidas e igual a 180 Neste caso cada um e o explemento do outro Dois angulos complementares Na geometria euclidiana dois angulos complementares sao angulos cujas medidas somadas resultam em 90 graus ou p 2 radianos Por exemplo o angulo a displaystyle alpha e o angulo 90 a displaystyle 90 alpha sao complementares Propriedades dos angulos complementares Em geometria euclidiana os dois angulos agudos em um triangulo retangulo sao complementares Isto acontece porque sendo a soma dos angulos internos de um triangulo 180 graus e um angulo e de 90 graus sobra para os outros angulos 90 graus Quando se tem dois angulos adjacentes complementares esses dois angulos juntos formam um angulo reto Exemplo a b 90º graus Dois angulos suplementares Em geometria dois angulos suplementares sao angulos que somados dao 180 graus ou p displaystyle pi radianos Por exemplo o angulo a displaystyle alpha e o angulo 180 a displaystyle 180 alpha b sao suplementares A aplicacao do conceito de angulos suplementares e fundamental em diversos momentos principalmente na geometria euclidiana e na geometria esferica Por exemplo pode se ve lo presente no seguinte teorema Teorema Os angulos internos de um paralelogramo sao dois a dois suplementares Prova Sejam a b g e d displaystyle alpha beta gamma mbox e delta os angulos do paralelogramo Entao temos que a b b g g d e d a displaystyle alpha beta beta gamma gamma delta mbox e delta alpha sao pares de angulos colaterais internos Por propriedade suas somas valem 180 ou seja a b b g g d d a 180 displaystyle alpha beta beta gamma gamma delta delta alpha 180 logo eles sao suplementares displaystyle square O angulo replementar de qualquer angulo e o angulo que somado com o primeiro da 360 graus 2 p displaystyle 2 pi radianos Angulos explementares sao angulos cujas medidas subtraidas resultam em 180 graus ou p radianos Por exemplo 10º e 190º sao explementares Historico EditarEuclides definiu um angulo plano como a inclinacao entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano De acordo com Proclo um angulo deve ser uma quantidade qualidade ou relacao O primeiro conceito quantidade foi usado por Eudemus que via o angulo como desvio de uma linha reta O segundo conceito qualidade foi usado por Carpus de Antioch que o via como intervalo ou espaco entre linhas intersecantes Euclides adotou o terceiro conceito no entanto sua definicao de angulo reto agudo e obtuso era claramente quantitativa 5 Um dos conhecidos tres problemas classicos da matematica grega foi o da trisseccao do angulo 6 O Principia mathematica um compendio que tentou demonstrar do inicio os fundamentos da matematica tinha um quarto volume previsto especialmente para a geometria mas que nunca foi realizado Significacoes derivadas EditarExistem varios significados para a palavra angulo todos eles derivadas da sua significacao matematica como ponto de vista imagem que se ve atraves de uma lente e esquina 7 Angulo tambem pode significar o local no gol em futebol de onde se podem ver os noventa graus da trave de dificil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcacao do gol No angulo e a expressao da jogada exata Ver tambem EditarArco matematica Circulo Seno Cosseno Tangente GeometriaReferencias Viana Giovana K A M Toffoli Sonia F L Sodre Ulysses 24 de marco de 2005 Ensino Fundamental Geometria Angulos S l Planeta Sercomtel Consultado em 11 de janeiro de 2012 Arquivado do original em 12 de maio de 2013 A referencia emprega parametros obsoletos coautor ajuda Dolce O 2013 Fundamentos da Matematica Elementar Volume 9 9 ed S l Atual ISBN 9788535716863 Como representar os movimentos de inclinacao no mundo Click Educacao 1 de janeiro de 2006 Consultado em 11 de janeiro de 2012 Arquivado do original em 23 de marco de 2010 Medidas de angulos de Arcos PDF Fundamentos de Matematica Elementar Universidade Federal da Bahia Consultado em 11 de janeiro de 2012 Heiberg Johan Ludvig 1908 Euclid em ingles 1 S l Cambridge University Press Carvalho Joao Pitombeira de Os Tres Problemas Classicos da Matematica Grega PDF Bienal da Sociedade Brasileira de Matematica Consultado em 12 de janeiro de 2012 Ferreira Aurelio Buarque de Holanda 1986 Novo dicionario Aurelio da Lingua Portuguesa 2 ed Rio de Janeiro Nova Fronteira ISBN 8520904114 Ligacoes externas EditarOutros projetos Wikimedia tambem contem material sobre este tema Definicoes no Wikcionario Livros e manuais no WikilivrosWikilivros Wikcionario Angulos Brasil Escola Angulo Medidas de um angulo Escola Kids Angulos Geometria Basica Guia do Estudante Angulos So Matematica Portal da matematica Obtida de https pt wikipedia org w index php title Angulo amp oldid 58861511,