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Espaço métrico

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(Agosto de 2012)

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde as distâncias entre quaisquer de seus elementos é definida. Estas distâncias formam a métrica do conjunto. A partir daí, podemos definir propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados, que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos.

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Índice

Seja X {\displaystyle X} um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre X {\displaystyle X} é uma função d : X × X R {\displaystyle d:X\times X\to R} que satisfaz as seguintes propriedades:

  1. d ( x , y ) 0 x , y X {\displaystyle d(x,y)\geq 0\ \ \forall x,y\in X} e d ( x , y ) = 0 x = y {\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) x , y X {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\ \ \forall x,y\in X}
  3. d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z ) x , y , z X {\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\ \ \forall x,y,z\in X} (essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular)

Então o par ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} é chamado espaço métrico.

Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.

  • O conjunto R {\displaystyle \mathbb {R} } dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica d ( x , y ) = | x y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|}
  • ( R n , d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)} , onde d ( ( x 1 , , x n ) , ( y 1 , , y n ) ) = ( y 1 x 1 ) 2 + + ( y n x n ) 2 {\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}} , é o espaço de dimensão n {\displaystyle n\,} com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
  • ( R n , d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)} , onde d ( x , y ) = max { | x 1 y 1 | , . . . , | x n y n | } {\displaystyle d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}} observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto X {\displaystyle X} com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
  • ( X , d ) {\displaystyle (X,d)\,} , onde d ( x , y ) = { 0 , se x = y 1 , se x y {\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.} é denominado de espaço métrico discreto.
  • Qualquer subconjunto A X {\displaystyle A\subset X} de um espaço métrico X {\displaystyle X} é um espaço métrico, basta considerar a restrição d | A × A R {\displaystyle d|_{A\times A}\to \mathbb {R} }
  • Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então d ( f , g ) = max | f ( x ) g ( x ) | {\displaystyle d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,} torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação B ( x , r ) {\displaystyle B(x,r)\,} para representar a bola aberta de raio r, B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } {\displaystyle B(x,r)=\{y\ |\ d(x,y)<r\}\,} , podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

  • Um conjunto A é aberto quando x A , ϵ > 0 , B ( x , ϵ ) A {\displaystyle \forall x\in A\ ,\ \exists \epsilon >0\ ,\ B(x,\epsilon )\subset A\,} .
  • A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências

  • Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9
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Espaço métrico
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