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"... f ( x ) {\displaystyle f(x)} será chamado de função contínua, se ... os valores numéricos da diferença f ( x + α ) f ( x ) {\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)} diminuem arbitrariamente, conforme α {\displaystyle \alpha } varie ... "

Cauchy (1821) introduziu o conceito de função contínua, onde pequenas variações em x produzem pequenas variações em y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . Weierstrass (1874) reformulou a definição de Cauchy, onde a diferença f ( x ) f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})} será arbitrariamente pequena, se a diferença x x 0 {\displaystyle x-x_{0}} for suficientemente pequena.

Posteriormente, com um tratamento mais rigoroso da matemática e a consequente evolução do pensamento matemático, as funções contínuas foram abstraídas para outros campos além da análise: álgebra linear, álgebra abstrata, física matemática, etc.

Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Em espaço topológico

Diz-se que uma função f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de Y {\displaystyle Y} é um aberto de X . {\displaystyle X.}

Exemplos

Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} e um conjunto A Y , {\displaystyle A\subset Y,} o conjunto f 1 ( A ) = { x X | f ( x ) A } . {\displaystyle f^{-1}(A)=\{x\in X|f(x)\in A\}.}

  • Seja X {\displaystyle X} um conjunto com a topologia discreta τ X = P ( X ) , {\displaystyle \tau _{X}=P(X),} Y {\displaystyle Y} com qualquer topologia, então qualquer função f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é contínua.

Basta ver que, A Y {\displaystyle \forall A\in Y} aberto temos que, f 1 ( A ) P ( X ) , {\displaystyle f^{-1}(A)\in P(X),} e portanto é aberto, o que mostra que f {\displaystyle f} é uma função contínua.

  • Seja Y {\displaystyle Y} um conjunto com a topologia grosseira τ Y = { , Y } , {\displaystyle \tau _{Y}=\{\varnothing ,Y\},} X {\displaystyle X} com qualquer topologia, então qualquer função f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} são {\displaystyle \varnothing } e Y , {\displaystyle Y,} basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas f 1 ( ) = {\displaystyle f^{-1}(\varnothing )=\varnothing } e f 1 ( Y ) = X , {\displaystyle f^{-1}(Y)=X,} e, por definição, {\displaystyle \varnothing } e X {\displaystyle X} são abertos em qualquer topologia em X . {\displaystyle X.}

  • Sejam f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} e g : Y Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} funções contínuas. Então g f : X Z {\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z} também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja A Z {\displaystyle A\subset Z} aberto, pela continuidade de g , {\displaystyle g,} temos que g 1 ( A ) {\displaystyle g^{-1}(A)} é um aberto em Y . {\displaystyle Y.} Portanto, pela continuidade de f , {\displaystyle f,} f 1 ( g 1 ( A ) ) {\displaystyle f^{-1}(g^{-1}(A))} é um aberto em X . {\displaystyle X.} Mas f 1 ( g 1 ( A ) ) = ( g f ) 1 ( A ) , {\displaystyle f^{-1}(g^{-1}(A))=(g\circ f)^{-1}(A),} o que prova a continuidade de g f . {\displaystyle g\circ f.}


Em espaço métrico

Diz-se que uma função f {\displaystyle f} é contínua no ponto x = a {\displaystyle x=a} se a {\displaystyle a} é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de X , {\displaystyle X,} se existir o limite de f ( x ) {\displaystyle f(x)} com x {\displaystyle x} tendendo a a {\displaystyle a} e esse limite for igual a f ( a ) . {\displaystyle f(a).}

OBS.: Não faz sentido calcular limites em pontos que não são de acumulação. Caso insistíssemos teríamos que qualquer valor seria limite de f ( x ) {\displaystyle f(x)} com x {\displaystyle x} tendendo a a {\displaystyle a}

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função f {\displaystyle f} é contínua num ponto a {\displaystyle a} do seu domínio se, dado ϵ > 0 , δ > 0 {\displaystyle \epsilon >0,\exists \delta >0} tal que x X , a δ < x < a + δ {\displaystyle \forall x\in X,a-\delta <x<a+\delta } então f ( a ) ϵ < f ( x ) < f ( a ) + ϵ . {\displaystyle f(a)-\epsilon <f(x)<f(a)+\epsilon .}

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico E {\displaystyle E} em outro espaço métrico F : {\displaystyle F:} a função f {\displaystyle f} é contínua em a E {\displaystyle a\in E} quando dado ϵ > 0 , δ > 0 {\displaystyle \epsilon >0,\exists \delta >0} tal que x E , d E ( x , a ) < δ d F ( f ( x ) , f ( a ) ) < ϵ . {\displaystyle \forall x\in E,d_{E}(x,a)<\delta \rightarrow d_{F}(f(x),f(a))<\epsilon .}

Em termos de bolas, dados dois espaços métricos M , N {\displaystyle M,N} dizemos que a aplicação f : M N {\displaystyle f:M\longrightarrow N} é contínua em a M {\displaystyle a\in M} se, dada uma bola aberta B = B ( f ( a ) , ϵ ) {\displaystyle B'=B(f(a),\epsilon )} de centro f ( a ) {\displaystyle f(a)} e raio ϵ {\displaystyle \epsilon } pode-se encontrar uma bola B = B ( a , δ ) , {\displaystyle B=B(a,\delta ),} de centro a {\displaystyle a} e raio δ {\displaystyle \delta } tal que f ( B ) B . {\displaystyle f(B)\subset B'.}

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Exemplo

  • Seja f : X Y , {\displaystyle f:X\longrightarrow Y,} X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} espaços métricos não vazios. Se x , y X {\displaystyle \forall x,y\in X} tivermos que d ( f ( x ) , f ( y ) ) c d ( x , y ) , {\displaystyle d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y),} então a aplicação f {\displaystyle f} é contínua e a constante c {\displaystyle c} é chamada de constante de Lipschitz. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.

Equivalência das definições

Se E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F} são espaços métricos, e τ E e τ F {\displaystyle \tau _{E}{\mbox{ e }}\tau _{F}} as topologias geradas pelas métricas em E {\displaystyle E} e F , {\displaystyle F,} então uma função f : E F {\displaystyle f:E\rightarrow F} é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limites

Uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} é dita ser contínua em um ponto a {\displaystyle a} de seu domínio se:

lim x a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Uma função f : E F , {\displaystyle f:E\rightarrow F,} em que E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F} são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto a E {\displaystyle a\in E} quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência x i E {\displaystyle x_{i}\in E} cujo limite (em E {\displaystyle E} ) seja a , {\displaystyle a,} temos que o limite (em F {\displaystyle F} ) de f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} é f ( a ) . {\displaystyle f(a).} Uma forma elegante de escrever isso é lim i f ( x i ) = f ( lim i x i ) . {\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f(x_{i})=f(\lim _{i\rightarrow \infty }x_{i}).}

  • Função Composta: Se f : E F {\displaystyle f:E\to F} e g : F G {\displaystyle g:F\to G} são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta g f : E G {\displaystyle g\circ f:E\to G} é contínua.
  • Se f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto X {\displaystyle X} em um espaço topológico de Hausdorff Y , {\displaystyle Y,} então f {\displaystyle f} é um homeomorfismo.
  • O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico X {\displaystyle X} e a reta real R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em R n × n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},} pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
  • Sejam X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} dois espaços topológicos, U X {\displaystyle U\subset X} e f : X Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} uma aplicação contínua. Então f {\displaystyle f} restrita a U {\displaystyle U} ainda é uma aplicação contínua.

Álgebra Linear

Considere um conjunto X {\displaystyle X\neq \emptyset } e o conjunto definido por todas as funções reais f , g : X R {\displaystyle f,g:X\rightarrow \mathbb {R} } . Temos que, F ( X , R ) {\displaystyle F(X,\mathbb {R} )} assume a estrutura de espaço vetorial a partir das operações de soma e produto por escalar usuais de funções reais, a saber, ( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) e ( α f ) ( x ) := α . f ( x ) , {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad e\quad (\alpha f)(x):=\alpha .f(x),} onde ( f , g ) F ( X , R ) × F ( X , R ) {\displaystyle (f,g)\in F(X,\mathbb {R} )\times F(X,\mathbb {R} )} e α R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } . Seja X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } e defina então o conjunto C ( R ) F ( R , R ) {\displaystyle C^{\circ }(\mathbb {R} )\subset F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} das funções contínuas reais. Ora, visto que 0 F ( R , R ) C ( R ) {\displaystyle 0_{F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}\in C^{\circ }(\mathbb {R} )} , a soma de funções contínuas é função contínua e que o produto por escalar é função contínua, temos que C ( R ) {\displaystyle C^{\circ }(\mathbb {R} )} é subespaço vetorial de F ( R , R ) {\displaystyle F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} .

Teorema da esfera cabeluda

O conceito de continuidade permite ser também para campos vetoriais, tendo então campos vetoriais contínuos. Com isso, temos uma aplicação belíssima do conceito de continuidade em um teorema chamado de Esfera Cabeluda. Eis sua interpretação, informalmente:

"... muitos dos leitores confrontam-se todas as manhãs com o teorema da bola cabeluda, ao tentarem pentear o seu cabelo e verificando que há um redemoinho persistente no topo das suas cabeças. De um modo simplificado, o teorema afirma que não é possível “pentear-se” uma superfície esférica coberta de “cabelo” sem se formarem “redemoinhos” de algum tipo."

Isto pelo fato da superfície esférica admite um campo vetorial contínuo. Também, o teorema da esfera cabeluda é uma consequência de um teorema de Poincaré sobre superfícies contínuas.

Gravação digital

As funções contínuas são muito úteis em gravações digitais, como por exemplo, em mídias de CD e DVD. Suponhamos que você esteja querendo gravar com seu celular uma aula de uma determinada disciplina. Como isso funciona? O(A) professor(a) emite uma onda sonora que é uma função contínua, porém como funções contínuas exigiriam uma capacidade de memória muito grande do seu celular (pois são infinitas), o que ele faz na verdade é gravar pedaços da onda sonora a cada segundo (isto é, com uma alta frequência), discretizando a função contínua. Com isso, seu celular tem informações suficientes para reproduzir o som como se fosse seu(sua) professor(a).

Administração e Economia

A maioria das funções que modelam os fenômenos econômicos são de natureza discreta e possuem descontinuidades finitas, do tipo função escada. As funções preço e custo são discretas, devido à natureza da mercadoria, ou possuem descontinuidade pois o custo e preço decrescem (crescem) instantaneamente. As funções oferta e demanda também são comumente discretas e apresentam descontinuidades.

  • Munkres, J. (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Col: Annals of Mathematics Studies 54. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09093-9
  • Lima, Elon Lages (2013). Análise Real - Funções de uma variável. Col: Coleção Matemática Universitária. 1 12ª ed. [S.l.]: IMPA. 198 páginas. ISBN 978-85-244-0048-3
  1. CAUCHY (1821). Cours d’Analyse. [S.l.: s.n.]
  2. LAGES, Elon (1977). Espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA. 32 páginas
  3. LIMA,, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 3,4
  4. «Teorema da esfera cabeluda»
  5. «Campos vetoriais»
  6. NUNES, João Pimentel. (PDF). Dep. Matem´atica, IST, Lisboa
  7. WEBER, Jean E. (2001). Matemática para economia e administração. São Paulo: HARBRA. pp. 149–153

função, contínua, tipo, função, entre, espaços, matemática, língua, vigiar, editar, Índice, pouco, história, definições, continuidade, espaço, topológico, exemplos, exemplo, equivalência, definições, termos, limites, função, sequencialmente, contínua, propried. Funcao continua tipo de funcao entre espacos em matematica Lingua Vigiar Editar Indice 1 Um pouco de historia 2 Definicoes de continuidade 2 1 Em espaco topologico 2 1 1 Exemplos 2 1 2 Exemplo 2 2 Equivalencia das definicoes 2 3 Em termos de limites 3 Funcao sequencialmente continua 4 Propriedades 5 Funcoes continuas e suas relacoes 5 1 Algebra Linear 3 5 2 Teorema da esfera cabeluda 4 5 3 Gravacao digital 7 5 4 Administracao e Economia 8 6 ReferenciasUm pouco de historia Editar f x displaystyle f x sera chamado de funcao continua se os valores numericos da diferenca f x a f x displaystyle f x alpha f x diminuem arbitrariamente conforme a displaystyle alpha varie 1 Cauchy 1821 introduziu o conceito de funcao continua onde pequenas variacoes em x produzem pequenas variacoes em y f x displaystyle y f x Weierstrass 1874 reformulou a definicao de Cauchy onde a diferenca f x f x 0 displaystyle f x f x 0 sera arbitrariamente pequena se a diferenca x x 0 displaystyle x x 0 for suficientemente pequena Posteriormente com um tratamento mais rigoroso da matematica e a consequente evolucao do pensamento matematico as funcoes continuas foram abstraidas para outros campos alem da analise algebra linear algebra abstrata fisica matematica etc Definicoes de continuidade EditarEm matematica uma funcao e continua quando intuitivamente as pequenas variacoes nos objetos correspondem a pequenas variacoes nas imagens Nos pontos onde a funcao nao e continua diz se que a funcao e descontinua ou que se trata de um ponto de descontinuidade Em espaco topologico Editar Diz se que uma funcao f X Y displaystyle f X rightarrow Y entre espacos topologicos e continua se a imagem reciproca de qualquer aberto de Y displaystyle Y e um aberto de X displaystyle X Exemplos Editar Esta funcao e descontinua nos inteiros Estes exemplos usam propriedades da imagem reciproca ou seja dada uma funcao f X Y displaystyle f X rightarrow Y e um conjunto A Y displaystyle A subset Y o conjunto f 1 A x X f x A displaystyle f 1 A x in X f x in A Seja X displaystyle X um conjunto com a topologia discreta t X P X displaystyle tau X P X Y displaystyle Y com qualquer topologia entao qualquer funcao f X Y displaystyle f X rightarrow Y e continua Basta ver que A Y displaystyle forall A in Y aberto temos que f 1 A P X displaystyle f 1 A in P X e portanto e aberto o que mostra que f displaystyle f e uma funcao continua Seja Y displaystyle Y um conjunto com a topologia grosseira t Y Y displaystyle tau Y varnothing Y X displaystyle X com qualquer topologia entao qualquer funcao f X Y displaystyle f X rightarrow Y e continua De fato pois como os dois unicos abertos de t Y displaystyle tau Y sao displaystyle varnothing e Y displaystyle Y basta verificar se suas imagens inversas sao abertos Mas f 1 displaystyle f 1 varnothing varnothing e f 1 Y X displaystyle f 1 Y X e por definicao displaystyle varnothing e X displaystyle X sao abertos em qualquer topologia em X displaystyle X Sejam f X Y displaystyle f X rightarrow Y e g Y Z displaystyle g Y rightarrow Z funcoes continuas Entao g f X Z displaystyle g circ f X rightarrow Z tambem e uma funcao continua Fato pois qualquer que seja A Z displaystyle A subset Z aberto pela continuidade de g displaystyle g temos que g 1 A displaystyle g 1 A e um aberto em Y displaystyle Y Portanto pela continuidade de f displaystyle f f 1 g 1 A displaystyle f 1 g 1 A e um aberto em X displaystyle X Mas f 1 g 1 A g f 1 A displaystyle f 1 g 1 A g circ f 1 A o que prova a continuidade de g f displaystyle g circ f Em espaco metrico Diz se que uma funcao f displaystyle f e continua no ponto x a displaystyle x a se a displaystyle a e um ponto isolado do dominio ou caso seja ponto de acumulacao de X displaystyle X se existir o limite de f x displaystyle f x com x displaystyle x tendendo a a displaystyle a e esse limite for igual a f a displaystyle f a OBS Nao faz sentido calcular limites em pontos que nao sao de acumulacao Caso insistissemos teriamos que qualquer valor seria limite de f x displaystyle f x com x displaystyle x tendendo a a displaystyle a Em analise real essa definicao e escrita na forma tradicional Epsilon Delta ou seja diz se que uma funcao f displaystyle f e continua num ponto a displaystyle a do seu dominio se dado ϵ gt 0 d gt 0 displaystyle epsilon gt 0 exists delta gt 0 tal que x X a d lt x lt a d displaystyle forall x in X a delta lt x lt a delta entao f a ϵ lt f x lt f a ϵ displaystyle f a epsilon lt f x lt f a epsilon Esta definicao com uma pequena adaptacao pode ser usada para uma funcao de um espaco metrico E displaystyle E em outro espaco metrico F displaystyle F a funcao f displaystyle f e continua em a E displaystyle a in E quando dado ϵ gt 0 d gt 0 displaystyle epsilon gt 0 exists delta gt 0 tal que x E d E x a lt d d F f x f a lt ϵ displaystyle forall x in E d E x a lt delta rightarrow d F f x f a lt epsilon Em termos de bolas dados dois espacos metricos M N displaystyle M N dizemos que a aplicacao f M N displaystyle f M longrightarrow N e continua em a M displaystyle a in M se dada uma bola aberta B B f a ϵ displaystyle B B f a epsilon de centro f a displaystyle f a e raio ϵ displaystyle epsilon pode se encontrar uma bola B B a d displaystyle B B a delta de centro a displaystyle a e raio d displaystyle delta tal que f B B displaystyle f B subset B 2 Diz se que f e continua em seu dominio ou simplesmente continua se ela for continua em todos os pontos desse dominio Exemplo Editar Seja f X Y displaystyle f X longrightarrow Y X displaystyle X e Y displaystyle Y espacos metricos nao vazios Se x y X displaystyle forall x y in X tivermos que d f x f y c d x y displaystyle d f x f y leq c cdot d x y entao a aplicacao f displaystyle f e continua e a constante c displaystyle c e chamada de constante de Lipschitz Na reta Real toda aplicacao Lipschitiziana e uniformemente continua Equivalencia das definicoes Editar Se E displaystyle E e F displaystyle F sao espacos metricos e t E e t F displaystyle tau E mbox e tau F as topologias geradas pelas metricas em E displaystyle E e F displaystyle F entao uma funcao f E F displaystyle f E rightarrow F e continua pela definicao topologica se e somente se ela e continua pela definicao metrica Em termos de limites Editar Uma funcao f x displaystyle f x e dita ser continua em um ponto a displaystyle a de seu dominio se lim x a f x f a displaystyle lim x to a f x f a Observa se que esta definicao exige que o limite a esquerda exista assim como o limite da direita e que a funcao esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto Funcao sequencialmente continua EditarUma funcao f E F displaystyle f E rightarrow F em que E displaystyle E e F displaystyle F sao espacos topologicos e sequencialmente continua em um ponto a E displaystyle a in E quanto ela comuta com o limite de sequencias ou seja quando para toda sequencia x i E displaystyle x i in E cujo limite em E displaystyle E seja a displaystyle a temos que o limite em F displaystyle F de f x i displaystyle f x i e f a displaystyle f a Uma forma elegante de escrever isso e lim i f x i f lim i x i displaystyle lim i rightarrow infty f x i f lim i rightarrow infty x i Propriedades EditarFuncao Composta Se f E F displaystyle f E to F e g F G displaystyle g F to G sao funcoes continuas entao e imediato pela definicao topologica que a funcao composta g f E G displaystyle g circ f E to G e continua Se f X Y displaystyle f X rightarrow Y e uma bijecao continua de um espaco topologico compacto X displaystyle X em um espaco topologico de Hausdorff Y displaystyle Y entao f displaystyle f e um homeomorfismo O conjunto dos zeros de uma aplicacao continua entre um espaco topologico X displaystyle X e a reta real R displaystyle mathbb R com a topologia usual e um conjunto fechado Em particular o conjunto das matrizes singulares e fechado em R n n displaystyle mathbb R n times n pois o determinante define uma aplicacao continua nesse espaco Sejam X displaystyle X e Y displaystyle Y dois espacos topologicos U X displaystyle U subset X e f X Y displaystyle f X rightarrow Y uma aplicacao continua Entao f displaystyle f restrita a U displaystyle U ainda e uma aplicacao continua Funcoes continuas e suas relacoes EditarAlgebra Linear 3 Editar Considere um conjunto X displaystyle X neq emptyset e o conjunto definido por todas as funcoes reais f g X R displaystyle f g X rightarrow mathbb R Temos que F X R displaystyle F X mathbb R assume a estrutura de espaco vetorial a partir das operacoes de soma e produto por escalar usuais de funcoes reais a saber f g x f x g x e a f x a f x displaystyle f g x f x g x quad e quad alpha f x alpha f x onde f g F X R F X R displaystyle f g in F X mathbb R times F X mathbb R e a R displaystyle alpha in mathbb R Seja X R displaystyle X mathbb R e defina entao o conjunto C R F R R displaystyle C circ mathbb R subset F mathbb R mathbb R das funcoes continuas reais Ora visto que 0 F R R C R displaystyle 0 F mathbb R mathbb R in C circ mathbb R a soma de funcoes continuas e funcao continua e que o produto por escalar e funcao continua temos que C R displaystyle C circ mathbb R e subespaco vetorial de F R R displaystyle F mathbb R mathbb R Teorema da esfera cabeluda 4 Editar O conceito de continuidade permite ser tambem para campos vetoriais 5 tendo entao campos vetoriais continuos Com isso temos uma aplicacao belissima do conceito de continuidade em um teorema chamado de Esfera Cabeluda Eis sua interpretacao informalmente muitos dos leitores confrontam se todas as manhas com o teorema da bola cabeluda ao tentarem pentear o seu cabelo e verificando que ha um redemoinho persistente no topo das suas cabecas De um modo simplificado o teorema afirma que nao e possivel pentear se uma superficie esferica coberta de cabelo sem se formarem redemoinhos de algum tipo 6 Isto pelo fato da superficie esferica admite um campo vetorial continuo Tambem o teorema da esfera cabeluda e uma consequencia de um teorema de Poincare sobre superficies continuas Gravacao digital 7 Editar As funcoes continuas sao muito uteis em gravacoes digitais como por exemplo em midias de CD e DVD Suponhamos que voce esteja querendo gravar com seu celular uma aula de uma determinada disciplina Como isso funciona O A professor a emite uma onda sonora que e uma funcao continua porem como funcoes continuas exigiriam uma capacidade de memoria muito grande do seu celular pois sao infinitas o que ele faz na verdade e gravar pedacos da onda sonora a cada segundo isto e com uma alta frequencia discretizando a funcao continua Com isso seu celular tem informacoes suficientes para reproduzir o som como se fosse seu sua professor a Administracao e Economia 8 Editar A maioria das funcoes que modelam os fenomenos economicos sao de natureza discreta e possuem descontinuidades finitas do tipo funcao escada As funcoes preco e custo sao discretas devido a natureza da mercadoria ou possuem descontinuidade pois o custo e preco decrescem crescem instantaneamente As funcoes oferta e demanda tambem sao comumente discretas e apresentam descontinuidades Referencias EditarMunkres J 1966 Elementary Differential Topology edicao revisada Col Annals of Mathematics Studies 54 S l Princeton University Press ISBN 0 691 09093 9 Lima Elon Lages 2013 Analise Real Funcoes de uma variavel Col Colecao Matematica Universitaria 1 12ª ed S l IMPA 198 paginas ISBN 978 85 244 0048 3 CAUCHY 1821 Cours d Analyse S l s n LAGES Elon 1977 Espacos metricos Rio de Janeiro IMPA 32 paginas LIMA Elon Lages 2016 Algebra Linear Rio de Janeiro IMPA pp 3 4 Teorema da esfera cabeluda Campos vetoriais NUNES Joao Pimentel O Teorema da Bola Cabeluda PDF Dep Matem atica IST Lisboa How Analog and Digital Recording Works WEBER Jean E 2001 Matematica para economia e administracao Sao Paulo HARBRA pp 149 153 Portal da matematica Obtida de https pt wikipedia org w index php title Funcao continua amp oldid 63211466,