fbpx
Wikipedia

Sistema de numeração decimal

O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez.

Forma e seqüência da grafia medieval dos algarismos arábicos que aparecem na página de título do Libro Intitulado Arithmetica Practica, por Juan de Yciar.

Um sistema de numeração é um conjunto de princípios constituindo o artifício lógico de classificação em grupos e subgrupos das unidades que formam os números. A base de um sistema de numeração é uma certa quantidade de unidades que deve constituir uma unidade de ordem imediatamente superior. Os sistemas de numeração tem seu nome derivado da sua base, ou seja, o sistema binário tem base dois, o sistema septimal tem base sete e o decimal tem base dez.

O princípio fundamental do sistema decimal é que dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem imediatamente superior. Depois das ordens, as unidades constitutivas dos números são agrupadas em classes, em que cada classe tem três ordens, em que cada ordem tem uma denominação especial, sendo idênticas às mesmas ordens de outras classes.

A primeira classe, a das unidades, tem as ordens das centenas, dezenas e unidades. A primeira ordem da primeira classe, ou seja, a ordem das unidades, corresponde aos números um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. A segunda ordem da primeira classe, a ordem das dezenas, corresponde aos números dez (uma dezena), vinte (duas dezenas), trinta (três dezenas), quarenta (quatro dezenas), cinquenta (cinco dezenas), sessenta (seis dezenas), setenta (sete dezenas), oitenta (oito dezenas) e noventa (nove dezenas), sendo cada um destes números dez vezes o número correspondente na ordem anterior. A terceira ordem da primeira classe, a ordem das centenas, corresponde aos números que vão de uma a nove centenas, ou seja, cem, duzentos, trezentos, quatrocentos, quinhentos, seiscentos, setecentos, oitocentos e novecentos. Analogamente, cada um destes números corresponde a dez vezes o correspondente na ordem anterior.

A segunda classe, a dos milhares, inclui a quarta, quinta e sexta ordens, que são, respectivamente, as unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar. Seus nomes são os dos números da primeira classe, seguidos de milhares. Ou seja, a quarta ordem (unidades de milhar) corresponde a mil (ou um milhar), dois mil, etc, até nove mil, a quinta ordem, dezenas de milhar, vai de dez mil a noventa mil, e a sexta ordem, centenas de milhar, vai de cem mil a novecentos mil.

A terceira classe corresponde à dos milhões. A partir daí, segundo o texto de João José Luiz Viana adoptado no Brasil, as classes se chamam bilhões (quarta classe), trilhões (quinta classe), quatrilhões (sexta classe), quintilhões (sétima classe), sextilhões(oitava classe), septilhões (nona classe), octilhões (décima classe), nonilhões (décima primeira classe), etc. Em Portugal, considera-se bilião como milhão de milhão, trilião como milhão de milhão de milhão (milhão de bilião) etc.

Os nomes dos números inteiros compreendidos entre dez e vinte, entre vinte e trinta, etc, até os compreendidos entre noventa e cem, são formados pelos nomes das unidades de segunda ordem, seguidos dos nomes das unidades de primeira ordem: dez e um, dez e dois, ..., dez e nove, vinte e um, …, …, noventa e nove; em lugar de dez e um, …, dez e cinco, diz-se onze, doze, treze, quatorze (ou catorze) e quinze.

Os nomes dos noventa e nove números compreendidos entre cada dois da terceira ordem, ou seja, os números entre cem e duzentos, ou entre duzentos e trezentos, etc, são formados dos números da unidade de terceira ordem seguidos dos nomes dos 99 primeiros números inteiros, e são cento e um, cento e dois, …, cento e noventa e nove, duzentos e um, duzentos e dois, duzentos e três, ..., duzentos e noventa e nove, trezentos e um, trezentos e dois, trezentos e três, ..., novecentos e noventa e nove.

Índice

Para escrever números, o sistema decimal usa dez dígitos decimais, um marcador decimal, e, para números negativos, um sinal de menos "-". Os dígitos decimais são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; o separador decimal é o ponto "." em muitos países, mas também uma vírgula "," em outros países.

Para representar um número não negativo, um numeral decimal consiste em:

a) uma sequência (finita) de dígitos (como "2021"), em que toda a sequência representa um número inteiro, e cada dígito em uma posição subsequente (lido da direita para a esquerda) está multiplicado por uma potência de 10, começando do 0:

2 10 3 + 0 10 2 + 2 10 1 + 1 10 0 {\displaystyle 2\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+2\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}}

A expressão geral é descrita como: a m a m 1 + . . . + a 0 {\displaystyle a_{m}a_{m-1}+...+a_{0}} representa o número a m 10 m + a m 1 10 m 1 + . . . + a 0 10 0 {\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+...+a_{0}10^{0}} . Onde o índice “m” representa a posição decimal de cada dígito, sendo o “m = 0” a casa das unidades, o “m = 1” das dezenas, e assim por diante.

b) ou um marcador decimal separando duas sequências de dígitos (como "20.70828"). Para números que estão após o marcador decimal, cada dígito subsequente também será multiplicado por uma potência de 10, porém o seu expoente será menor que 0 e avançará de forma decrescente conforme as casas decimais crescem para a direita.

20.70828 = 2 10 1 + 0 10 0 + 7 10 1 + 0 10 2 + 8 10 3 + 2 10 4 + 8 10 5 {\displaystyle 20.70828=2\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0}+7\cdot 10^{-1}+0\cdot 10^{-2}+8\cdot 10^{-3}+2\cdot 10^{-4}+8\cdot 10^{-5}}

ou

20.70828 = 2 10 1 + 0 10 0 + 7 1 10 1 + 0 1 10 2 + 8 1 10 3 + 2 1 10 4 + 8 1 10 5 {\displaystyle 20.70828=2\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0}+7\cdot {\frac {1}{10^{1}}}+0\cdot {\frac {1}{10^{2}}}+8\cdot {\frac {1}{10^{3}}}+2\cdot {\frac {1}{10^{4}}}+8\cdot {\frac {1}{10^{5}}}}

De forma geral o numeral a m a m 1 . . . a 0 . b 1 b 2 . . . b n {\displaystyle a_{m}a_{m-1}...a_{0}.b_{1}b_{2}...b_{n}} representa o número: a m 10 m + a m 1 10 m 1 + . . . + a 0 10 0 + b 1 10 1 + b 2 10 2 + . . . + b n 10 n {\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+...+a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}

Se m> 0, isto é, se a primeira sequência contém pelo menos dois dígitos (unidades e dezenas), geralmente assume-se que o primeiro dígito a m {\textstyle a_{m}} não é zero. Em algumas circunstâncias, pode ser útil ter um ou mais zeros à esquerda; isso não altera o valor representado pelo decimal: por exemplo, 3,14 = 03,14 = 003,14. Da mesma forma, se o dígito final à direita da marca decimal for zero, isto é, se b n {\textstyle b_{n}} = 0, ele pode ser removido; inversamente, zeros finais podem ser adicionados após a marca decimal sem alterar o número representado ;por exemplo, 15 = 15,0 = 15,00 e 5,2 = 5,20 = 5,200.

Para representar um número negativo, um sinal de menos é colocado antes (à esquerda) de a m {\displaystyle a_{m}} .

A parte inteira de um numeral decimal consiste nos dígitos escritos à esquerda do separador decimal (consulte também truncamento). À direita do separador decimal está a parte fracionária, que é igual à diferença entre o numeral e sua parte inteira, por exemplo 2.718 - 2 = 0.718.

Quando a parte integral de um numeral é zero, pode ocorrer, normalmente na computação, que a parte inteira não seja escrita (por exemplo, 1234, em vez de 0,1234). Na escrita normal, isso geralmente é evitado, devido ao risco de confusão entre a casa decimal e outra pontuação.

Em resumo, a contribuição de cada dígito para o valor de um número depende de sua posição no numeral. Ou seja, o sistema decimal é um sistema numeral posicional.

As frações decimais (denominadas algumas vezes de números decimais, especialmente em contextos envolvendo frações explícitas) são números racionais que podem ser expressos como uma fração cujo denominador é uma potência de base 10. Por exemplo, os decimais 0.8, 14.89, 0.00024, 1.618, 3.14159 são representados pelas frações 8 10 , 1489 100 , 24 100000 , 1618 1000 {\displaystyle {\frac {8}{10}},{\frac {1489}{100}},{\frac {24}{100000}},{\frac {1618}{1000}}} e 314159 100000 , {\displaystyle {\frac {314159}{100000}},} e são, portanto, números decimais.

Geralmente, um decimal com n dígitos após o separador de casas decimais é representado pela fração com denominador 10 n {\displaystyle 10^{n}} e com numerador pelo número inteiro obtido removendo o separador.

Portanto, um número é uma fração decimal se, e somente se, ele possuir uma representação decimal finita.

Expressos como uma fração decimal totalmente reduzida, os números decimais são aqueles cujo denominador é o produto de uma potência de base 2 com uma potência de base 5. Dessa forma, os menores denominadores dos números decimais são:

1 = 2 0 {\displaystyle 1=2^{0}} 5 0 , {\displaystyle 5^{0},} 2 = 2 1 {\displaystyle 2=2^{1}} 5 0 , {\displaystyle 5^{0},} 4 = 2 2 {\displaystyle 4=2^{2}} 5 0 , {\displaystyle 5^{0},} 5 = 2 0 {\displaystyle 5=2^{0}} 5 1 , {\displaystyle 5^{1},} 8 = 2 3 {\displaystyle 8=2^{3}} 5 0 , {\displaystyle 5^{0},} 10 = 2 1 {\displaystyle 10=2^{1}} 5 1 {\displaystyle 5^{1}} .

Os números decimais não permitem uma representação exata para todos os números reais, por exemplo, para o número real π. No entanto, eles permitem aproximar cada número real com qualquer precisão desejada, por exemplo, o decimal 3,14159 se aproxima do real π, sendo menor que 10-5, portanto, decimais são amplamente usados na ciência, engenharia e na vida cotidiana.

Mais precisamente, para todo número real x, e todo inteiro positivo n, há dois decimais L e u com no máximo n dígitos após a casa decimal tais que L ≤ x ≤ u e (u - L) = 10- n.

Os números são frequentemente obtidos como resultado de medições. Como as mesmas estão sujeitas à incerteza de medição com um limite superior conhecido, o resultado de uma medição é bem representado por um decimal com n dígitos após a casa decimal, assim que o erro de medição absoluto é limitado de cima por 10- n. Na prática, os seus resultados são frequentemente fornecidos com um certo número de dígitos após a vírgula decimal, que indica os limites de erro. Por exemplo, embora 0,080 e 0,08 denotem o mesmo número, o numeral decimal 0,080 sugere uma medição com um erro menor que 0,001, enquanto o numeral 0,08 indica um erro absoluto limitado por 0,01. Em ambos os casos, o valor verdadeiro da quantidade medida pode ser, por exemplo, 0,0803 ou 0,0796 (ver também algarismos significativos).

Para um número real x e um inteiro n ≥ 0, seja [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} denotar a expansão decimal (finita) do maior número que não seja maior que x que tem exatamente n dígitos após a casa decimal. Deixe d i {\displaystyle d_{i}} denotar o último dígito de [ x ] i {\displaystyle [x]_{i}} . É simples ver que [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} pode ser obtido anexando d n {\displaystyle d_{n}} a direita de [ x ] n 1 {\displaystyle [x]_{n-1}} . Assim se tem

[ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} = [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} . d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} ... d n 1 {\displaystyle d_{n-1}} d n {\displaystyle d_{n}} ,

e a diferença de [ x ] n 1 {\displaystyle [x]_{n-1}} e [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} ascende a

| [ x ] n [ x ] n 1 | {\displaystyle \left\vert [x]_{n}-[x]_{n-1}\right\vert } = d n {\displaystyle d_{n}} . 10 n < 10 n + 1 {\displaystyle 10^{-n}<10^{-n+1}} ,

que é 0, se d n {\displaystyle d_{n}} = 0, ou fica arbitrariamente pequeno quando n tende ao infinito.

De acordo com a definição de um limite, x é um limite de [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} quando n tende para o infinito. Isto é escrito como x = lim n [ x ] n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }[x]_{n}} ou x = [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} . d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} ... d n {\displaystyle d_{n}} ..., que é chamada de expansão decimal infinita de x.

Por outro lado, para qualquer inteiro [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} e qualquer sequência de dígitos ( d n ) n = 1 {\displaystyle (d_{n})_{n=1}^{\infty }} a expressão (infinita) [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} . d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} ... d n {\displaystyle d_{n}} ... é uma expansão decimal infinita de um número real x. Esta expansão é única se nem todos os d n {\displaystyle d_{n}} são iguais a 9 nem todos os d n {\displaystyle d_{n}} são iguais a 0 para n grandes o suficiente (para todo n maior que algum número natural N).

Se todo d n {\displaystyle d_{n}} para n>N for igual a 9 e [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} = [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} . d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} ... d n {\displaystyle d_{n}} , o limite da sequência ( x n ) n = 1 {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} é a fração decimal obtida pela substituição do último dígito que não é um 9, ou seja: d N {\displaystyle d_{N}} por d N {\displaystyle d_{N}} +1 e substituindo todos os 9s subsequentes por 0s (ver 0,999 ...).

Qualquer fração decimal, ou seja: d n {\displaystyle d_{n}} = 0 para n>N, pode ser convertida em sua expansão decimal infinita equivalente substituindo d N {\displaystyle d_{N}} por d N {\displaystyle d_{N}} -1 e substituindo todos os 0s subsequentes por 9s (consulte 0,999 ...).

Em resumo, todo número real que não seja uma fração decimal tem uma expansão decimal infinita única. Cada fração decimal tem exatamente duas expansões decimais infinitas, uma contendo apenas 0s após alguma casa, que é obtido pela definição acima de [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} , e o outro contendo apenas 9s após alguma casa, que é obtido definindo [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} como o maior número que é menor que x, tendo exatamente n dígitos após a casa decimal.

A divisão longa permite calcular a expansão decimal infinita de um número racional. Se o número racional for uma fração decimal, a divisão termina eventualmente, produzindo um numeral decimal, que pode ser prolongado em uma expansão infinita pela adição de um número infinito de zeros. Se o número racional não for uma fração decimal, a divisão pode continuar indefinidamente. No entanto, como todos os restos sucessivos são menores que o divisor, há apenas um número finito de restos possíveis e, após algum lugar, a mesma sequência de dígitos deve ser repetida indefinidamente no quociente. Ou seja, tem-se uma casa decimal repetida. Por exemplo,

1 81 = 0 , 012345679012... {\displaystyle {\frac {1}{81}}=0,012345679012...} (com o grupo 012345679 repetindo indefinidamente).

O inverso também é verdadeiro: se, em algum ponto da representação decimal de um número, a mesma sequência de dígitos começa a se repetir indefinidamente, o número é racional.

Por exemplo, se x for 0,4156156156 ...,

então 10.000x é 4156,156156156 ...

e 10x é 4,156156156 ...

então 10.000x - 10x, ou seja, 9.990x, é 4.152,000000000 ...

e x é 4152 9990 {\displaystyle {\frac {4152}{9990}}}

ou dividindo o numerador e o denominador por 6, 692 1665 {\displaystyle {\frac {692}{1665}}} .

Notas e referências

Notas

  1. Em alguns livros, usa-se uma notação diferente para as classes acima da classe do milhão, (ver Bilhão e Escalas curta e longa) chamando a quarta classe dos milhares de milhão, a quinta classe dos bilhões, a sexta classe dos milhares de bilhão, etc.
  2. O texto de Viana deixa implícito que esta notação termina em 100.
  3. Às vezes, os zeros extras são usados ​​para indicar a precisão de uma medição. Por exemplo, "15,00 m" pode indicar que o erro de medição é menor que um centímetro (0,01 m), enquanto "15 m" pode significar que o comprimento é de aproximadamente quinze metros e que o erro pode exceder 10 centímetros.

Referências

  1. Vianna, João José Luiz (1914). «Introducção, Noções Preliminares, Ponto 13». Elementos de Arithmetica (1883). Texto disponível no Wikisource 15.ª ed. Rio de Janeiro, Brasil: Livraria Francisco Alves. p. 5 e seguintes. Consultado em 26 de dezembro de 2012
  2. . 1 de março de 2020. Consultado em 2021-02-22.Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  3. Weisstein, Eric W. . Consultado em 22 de fevereiro de 2021
  4. Weisstein, Eric W. "Decimal Point." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html
Este artigo sobrematemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédiaexpandindo-o.

Sistema de numeração decimal
sistema, numeração, decimal, sistema, numeração, base, língua, vigiar, editar, redirecionado, sistema, decimal, sistema, decimal, sistema, numeração, posição, utiliza, base, forma, seqüência, grafia, medieval, algarismos, arábicos, aparecem, página, título, li. Sistema de numeracao decimal sistema de numeracao que usa base dez Lingua Vigiar Editar Redirecionado de Sistema decimal O sistema decimal e um sistema de numeracao de posicao que utiliza a base dez Forma e sequencia da grafia medieval dos algarismos arabicos que aparecem na pagina de titulo do Libro Intitulado Arithmetica Practica por Juan de Yciar Um sistema de numeracao e um conjunto de principios constituindo o artificio logico de classificacao em grupos e subgrupos das unidades que formam os numeros A base de um sistema de numeracao e uma certa quantidade de unidades que deve constituir uma unidade de ordem imediatamente superior Os sistemas de numeracao tem seu nome derivado da sua base ou seja o sistema binario tem base dois o sistema septimal tem base sete e o decimal tem base dez 1 O principio fundamental do sistema decimal e que dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de ordem imediatamente superior Depois das ordens as unidades constitutivas dos numeros sao agrupadas em classes em que cada classe tem tres ordens em que cada ordem tem uma denominacao especial sendo identicas as mesmas ordens de outras classes 1 A primeira classe a das unidades tem as ordens das centenas dezenas e unidades A primeira ordem da primeira classe ou seja a ordem das unidades corresponde aos numeros um dois tres quatro cinco seis sete oito e nove A segunda ordem da primeira classe a ordem das dezenas corresponde aos numeros dez uma dezena vinte duas dezenas trinta tres dezenas quarenta quatro dezenas cinquenta cinco dezenas sessenta seis dezenas setenta sete dezenas oitenta oito dezenas e noventa nove dezenas sendo cada um destes numeros dez vezes o numero correspondente na ordem anterior A terceira ordem da primeira classe a ordem das centenas corresponde aos numeros que vao de uma a nove centenas ou seja cem duzentos trezentos quatrocentos quinhentos seiscentos setecentos oitocentos e novecentos Analogamente cada um destes numeros corresponde a dez vezes o correspondente na ordem anterior 1 A segunda classe a dos milhares inclui a quarta quinta e sexta ordens que sao respectivamente as unidades de milhar dezenas de milhar e centenas de milhar Seus nomes sao os dos numeros da primeira classe seguidos de milhares Ou seja a quarta ordem unidades de milhar corresponde a mil ou um milhar dois mil etc ate nove mil a quinta ordem dezenas de milhar vai de dez mil a noventa mil e a sexta ordem centenas de milhar vai de cem mil a novecentos mil 1 A terceira classe corresponde a dos milhoes A partir dai segundo o texto de Joao Jose Luiz Viana adoptado no Brasil as classes se chamam bilhoes quarta classe trilhoes quinta classe quatrilhoes sexta classe quintilhoes setima classe sextilhoes oitava classe septilhoes nona classe octilhoes decima classe nonilhoes decima primeira classe etc 1 Nota 1 Em Portugal considera se biliao como milhao de milhao triliao como milhao de milhao de milhao milhao de biliao etc Os nomes dos numeros inteiros compreendidos entre dez e vinte entre vinte e trinta etc ate os compreendidos entre noventa e cem Nota 2 sao formados pelos nomes das unidades de segunda ordem seguidos dos nomes das unidades de primeira ordem dez e um dez e dois dez e nove vinte e um noventa e nove em lugar de dez e um dez e cinco diz se onze doze treze quatorze ou catorze e quinze 1 Os nomes dos noventa e nove numeros compreendidos entre cada dois da terceira ordem ou seja os numeros entre cem e duzentos ou entre duzentos e trezentos etc sao formados dos numeros da unidade de terceira ordem seguidos dos nomes dos 99 primeiros numeros inteiros e sao cento e um cento e dois cento e noventa e nove duzentos e um duzentos e dois duzentos e tres duzentos e noventa e nove trezentos e um trezentos e dois trezentos e tres novecentos e noventa e nove 1 Indice 1 Notacao Decimal 2 Fracoes Decimais 3 Aproximacao de Numeros Reais 4 Expansao Decimal Infinita 5 Numeros Racionais 6 Notas e referencias 6 1 Notas 6 2 Referencias 7 Ver tambemNotacao Decimal EditarPara escrever numeros o sistema decimal usa dez digitos decimais um marcador decimal e para numeros negativos um sinal de menos Os digitos decimais sao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o separador decimal e o ponto em muitos paises 2 3 mas tambem uma virgula em outros paises 4 Para representar um numero nao negativo um numeral decimal consiste em a uma sequencia finita de digitos como 2021 em que toda a sequencia representa um numero inteiro e cada digito em uma posicao subsequente lido da direita para a esquerda esta multiplicado por uma potencia de 10 comecando do 0 2 10 3 0 10 2 2 10 1 1 10 0 displaystyle 2 cdot 10 3 0 cdot 10 2 2 cdot 10 1 1 cdot 10 0 A expressao geral e descrita como a m a m 1 a 0 displaystyle a m a m 1 a 0 representa o numero a m 10 m a m 1 10 m 1 a 0 10 0 displaystyle a m 10 m a m 1 10 m 1 a 0 10 0 Onde o indice m representa a posicao decimal de cada digito sendo o m 0 a casa das unidades o m 1 das dezenas e assim por diante b ou um marcador decimal separando duas sequencias de digitos como 20 70828 Para numeros que estao apos o marcador decimal cada digito subsequente tambem sera multiplicado por uma potencia de 10 porem o seu expoente sera menor que 0 e avancara de forma decrescente conforme as casas decimais crescem para a direita 20 70828 2 10 1 0 10 0 7 10 1 0 10 2 8 10 3 2 10 4 8 10 5 displaystyle 20 70828 2 cdot 10 1 0 cdot 10 0 7 cdot 10 1 0 cdot 10 2 8 cdot 10 3 2 cdot 10 4 8 cdot 10 5 ou 20 70828 2 10 1 0 10 0 7 1 10 1 0 1 10 2 8 1 10 3 2 1 10 4 8 1 10 5 displaystyle 20 70828 2 cdot 10 1 0 cdot 10 0 7 cdot frac 1 10 1 0 cdot frac 1 10 2 8 cdot frac 1 10 3 2 cdot frac 1 10 4 8 cdot frac 1 10 5 De forma geral o numeral a m a m 1 a 0 b 1 b 2 b n displaystyle a m a m 1 a 0 b 1 b 2 b n representa o numero a m 10 m a m 1 10 m 1 a 0 10 0 b 1 10 1 b 2 10 2 b n 10 n displaystyle a m 10 m a m 1 10 m 1 a 0 10 0 frac b 1 10 1 frac b 2 10 2 frac b n 10 n Se m gt 0 isto e se a primeira sequencia contem pelo menos dois digitos unidades e dezenas geralmente assume se que o primeiro digito a m textstyle a m nao e zero Em algumas circunstancias pode ser util ter um ou mais zeros a esquerda isso nao altera o valor representado pelo decimal por exemplo 3 14 03 14 003 14 Da mesma forma se o digito final a direita da marca decimal for zero isto e se b n textstyle b n 0 ele pode ser removido inversamente zeros finais podem ser adicionados apos a marca decimal sem alterar o numero representado Nota 3 por exemplo 15 15 0 15 00 e 5 2 5 20 5 200 Para representar um numero negativo um sinal de menos e colocado antes a esquerda de a m displaystyle a m A parte inteira de um numeral decimal consiste nos digitos escritos a esquerda do separador decimal consulte tambem truncamento A direita do separador decimal esta a parte fracionaria que e igual a diferenca entre o numeral e sua parte inteira por exemplo 2 718 2 0 718 Quando a parte integral de um numeral e zero pode ocorrer normalmente na computacao que a parte inteira nao seja escrita por exemplo 1234 em vez de 0 1234 Na escrita normal isso geralmente e evitado devido ao risco de confusao entre a casa decimal e outra pontuacao Em resumo a contribuicao de cada digito para o valor de um numero depende de sua posicao no numeral Ou seja o sistema decimal e um sistema numeral posicional Fracoes Decimais EditarAs fracoes decimais denominadas algumas vezes de numeros decimais especialmente em contextos envolvendo fracoes explicitas sao numeros racionais que podem ser expressos como uma fracao cujo denominador e uma potencia de base 10 Por exemplo os decimais 0 8 14 89 0 00024 1 618 3 14159 sao representados pelas fracoes 8 10 1489 100 24 100000 1618 1000 displaystyle frac 8 10 frac 1489 100 frac 24 100000 frac 1618 1000 e 314159 100000 displaystyle frac 314159 100000 e sao portanto numeros decimais Geralmente um decimal com n digitos apos o separador de casas decimais e representado pela fracao com denominador 10 n displaystyle 10 n e com numerador pelo numero inteiro obtido removendo o separador Portanto um numero e uma fracao decimal se e somente se ele possuir uma representacao decimal finita Expressos como uma fracao decimal totalmente reduzida os numeros decimais sao aqueles cujo denominador e o produto de uma potencia de base 2 com uma potencia de base 5 Dessa forma os menores denominadores dos numeros decimais sao 1 2 0 displaystyle 1 2 0 5 0 displaystyle 5 0 2 2 1 displaystyle 2 2 1 5 0 displaystyle 5 0 4 2 2 displaystyle 4 2 2 5 0 displaystyle 5 0 5 2 0 displaystyle 5 2 0 5 1 displaystyle 5 1 8 2 3 displaystyle 8 2 3 5 0 displaystyle 5 0 10 2 1 displaystyle 10 2 1 5 1 displaystyle 5 1 Aproximacao de Numeros Reais EditarOs numeros decimais nao permitem uma representacao exata para todos os numeros reais por exemplo para o numero real p No entanto eles permitem aproximar cada numero real com qualquer precisao desejada por exemplo o decimal 3 14159 se aproxima do real p sendo menor que 10 5 portanto decimais sao amplamente usados na ciencia engenharia e na vida cotidiana Mais precisamente para todo numero real x e todo inteiro positivo n ha dois decimais L e u com no maximo n digitos apos a casa decimal tais que L x u e u L 10 n Os numeros sao frequentemente obtidos como resultado de medicoes Como as mesmas estao sujeitas a incerteza de medicao com um limite superior conhecido o resultado de uma medicao e bem representado por um decimal com n digitos apos a casa decimal assim que o erro de medicao absoluto e limitado de cima por 10 n Na pratica os seus resultados sao frequentemente fornecidos com um certo numero de digitos apos a virgula decimal que indica os limites de erro Por exemplo embora 0 080 e 0 08 denotem o mesmo numero o numeral decimal 0 080 sugere uma medicao com um erro menor que 0 001 enquanto o numeral 0 08 indica um erro absoluto limitado por 0 01 Em ambos os casos o valor verdadeiro da quantidade medida pode ser por exemplo 0 0803 ou 0 0796 ver tambem algarismos significativos Expansao Decimal Infinita EditarPara um numero real x e um inteiro n 0 seja x n displaystyle x n denotar a expansao decimal finita do maior numero que nao seja maior que x que tem exatamente n digitos apos a casa decimal Deixe d i displaystyle d i denotar o ultimo digito de x i displaystyle x i E simples ver que x n displaystyle x n pode ser obtido anexando d n displaystyle d n a direita de x n 1 displaystyle x n 1 Assim se tem x n displaystyle x n x 0 displaystyle x 0 d 1 displaystyle d 1 d 2 displaystyle d 2 d n 1 displaystyle d n 1 d n displaystyle d n e a diferenca de x n 1 displaystyle x n 1 e x n displaystyle x n ascende a x n x n 1 displaystyle left vert x n x n 1 right vert d n displaystyle d n 10 n lt 10 n 1 displaystyle 10 n lt 10 n 1 que e 0 se d n displaystyle d n 0 ou fica arbitrariamente pequeno quando n tende ao infinito De acordo com a definicao de um limite x e um limite de x n displaystyle x n quando n tende para o infinito Isto e escrito como x lim n x n displaystyle lim n to infty x n ou x x 0 displaystyle x 0 d 1 displaystyle d 1 d 2 displaystyle d 2 d n displaystyle d n que e chamada de expansao decimal infinita de x Por outro lado para qualquer inteiro x 0 displaystyle x 0 e qualquer sequencia de digitos d n n 1 displaystyle d n n 1 infty a expressao infinita x 0 displaystyle x 0 d 1 displaystyle d 1 d 2 displaystyle d 2 d n displaystyle d n e uma expansao decimal infinita de um numero real x Esta expansao e unica se nem todos os d n displaystyle d n sao iguais a 9 nem todos os d n displaystyle d n sao iguais a 0 para n grandes o suficiente para todo n maior que algum numero natural N Se todo d n displaystyle d n para n gt N for igual a 9 e x n displaystyle x n x 0 displaystyle x 0 d 1 displaystyle d 1 d 2 displaystyle d 2 d n displaystyle d n o limite da sequencia x n n 1 displaystyle x n n 1 infty e a fracao decimal obtida pela substituicao do ultimo digito que nao e um 9 ou seja d N displaystyle d N por d N displaystyle d N 1 e substituindo todos os 9s subsequentes por 0s ver 0 999 Qualquer fracao decimal ou seja d n displaystyle d n 0 para n gt N pode ser convertida em sua expansao decimal infinita equivalente substituindo d N displaystyle d N por d N displaystyle d N 1 e substituindo todos os 0s subsequentes por 9s consulte 0 999 Em resumo todo numero real que nao seja uma fracao decimal tem uma expansao decimal infinita unica Cada fracao decimal tem exatamente duas expansoes decimais infinitas uma contendo apenas 0s apos alguma casa que e obtido pela definicao acima de x n displaystyle x n e o outro contendo apenas 9s apos alguma casa que e obtido definindo x n displaystyle x n como o maior numero que e menor que x tendo exatamente n digitos apos a casa decimal Numeros Racionais EditarA divisao longa permite calcular a expansao decimal infinita de um numero racional Se o numero racional for uma fracao decimal a divisao termina eventualmente produzindo um numeral decimal que pode ser prolongado em uma expansao infinita pela adicao de um numero infinito de zeros Se o numero racional nao for uma fracao decimal a divisao pode continuar indefinidamente No entanto como todos os restos sucessivos sao menores que o divisor ha apenas um numero finito de restos possiveis e apos algum lugar a mesma sequencia de digitos deve ser repetida indefinidamente no quociente Ou seja tem se uma casa decimal repetida Por exemplo 1 81 0 012345679012 displaystyle frac 1 81 0 012345679012 com o grupo 012345679 repetindo indefinidamente O inverso tambem e verdadeiro se em algum ponto da representacao decimal de um numero a mesma sequencia de digitos comeca a se repetir indefinidamente o numero e racional Por exemplo se x for 0 4156156156 entao 10 000x e 4156 156156156 e 10x e 4 156156156 entao 10 000x 10x ou seja 9 990x e 4 152 000000000 e x e 4152 9990 displaystyle frac 4152 9990 ou dividindo o numerador e o denominador por 6 692 1665 displaystyle frac 692 1665 Notas e referenciasNotas Em alguns livros usa se uma notacao diferente para as classes acima da classe do milhao ver Bilhao e Escalas curta e longa chamando a quarta classe dos milhares de milhao a quinta classe dos bilhoes a sexta classe dos milhares de bilhao etc O texto de Viana deixa implicito que esta notacao termina em 100 As vezes os zeros extras sao usados para indicar a precisao de uma medicao Por exemplo 15 00 m pode indicar que o erro de medicao e menor que um centimetro 0 01 m enquanto 15 m pode significar que o comprimento e de aproximadamente quinze metros e que o erro pode exceder 10 centimetros Referencias a b c d e f g Vianna Joao Jose Luiz 1914 Introduccao Nocoes Preliminares Ponto 13 Elementos de Arithmetica 1883 Texto disponivel no Wikisource 15 ª ed Rio de Janeiro Brasil Livraria Francisco Alves p 5 e seguintes Consultado em 26 de dezembro de 2012 Mathematical Symbols 1 de marco de 2020 Consultado em 2021 02 22 Verifique data em acessodata ajuda Weisstein Eric W Decimal Consultado em 22 de fevereiro de 2021 Weisstein Eric W Decimal Point From MathWorld A Wolfram Web Resource https mathworld wolfram com DecimalPoint htmlVer tambem EditarBilhao Escalas curta e longa Este artigo sobre matematica e um esboco Voce pode ajudar a Wikipedia expandindo o vde Obtida de https pt wikipedia org w index php title Sistema de numeracao decimal amp oldid 61780190,